Приложенная к телу, а m {\displaystyle \ m} - масса тела. Или в ином виде:

• Формулировка второго закона Ньютона с использованием понятия импульса :

В инерциальных системах отсчёта производная импульса материальной точки по времени равна действующей на неё силе :

Область применения закона

Второй закон Ньютона в классической механике сформулирован применительно к движению материальной точки. Предполагается, что масса материальной точки неизменна во времени . Уравнения, соответствующие данному закону, называются уравнениями движения материальной точки или основными уравнениями динамики материальной точки .

Иногда в рамках классической механики предпринимались попытки распространить сферу применения уравнения d p → / d t = F → {\displaystyle d{\vec {p}}/dt={\vec {F}}} и на случай тел переменной массы. Однако вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходилось существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила .

В случае, когда на материальную точку действует несколько сил, каждая из них сообщает точке ускорение, определяемое вторым законом Ньютона так, как если бы других сил не было (принцип независимости действия сил). Поэтому результирующее ускорение материальной точки можно определить по второму закону Ньютона, подставив в него равнодействующую силу .

предполагает скалярную аддитивность масс .

Помимо материальной точки, уравнение второго закона Ньютона применимо также для описания механического движения центра масс механической системы. Центр масс движется, как материальная точка, имеющая массу, равную массе всей системы, и находящаяся под действием всех внешних сил, приложенных к точкам системы (теорема о движении центра масс системы).

Второй закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчёта . Тем не менее, добавляя к силам, действующим со стороны других тел, силы инерции , для описания движения в неинерциальных системах отсчёта можно пользоваться уравнением второго закона Ньютона . В таком случае для неинерциальной системы отсчёта уравнение движения записывается в той же форме, что и для инерциальной системы: масса тела, умноженная на его ускорение относительно неинерциальной системы отсчёта, равна по величине и направлению равнодействующей всех сил, включая и силы инерции, приложенные к телу .

Логическая роль второго закона Ньютона

В ньютоновском изложении классической механики законы Ньютона ниоткуда не «выводятся», они имеют статус аксиом , базирующихся на совокупности экспериментальных фактов. Как и аксиомы математики, аксиомы ньютоновской динамики можно сформулировать немного по-разному.

При одном подходе второй закон Ньютона позиционируется как экспериментально проверяемое утверждение о пропорциональности ускорения вызывающей его силе и, одновременно, определение инертной массы тела через отношение величин силы и ускорения . Тогда основная идея второго закона состоит в декларации линейности соотношения «сила-ускорение», то есть что именно эти величины (а не, скажем, сила и скорость) и именно таким образом (а не квадратично и т. п.) связаны между собой.

При другом подходе можно ввести инертную массу независимо от второго закона Ньютона, через массу определённого тела, принимаемого за эталон. Тогда второй закон содержит два независимо экспериментально проверяемых утверждения: о пропорциональности ускорения силе и обратной пропорциональности массе .

Уравнение второго закона Ньютона F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} рассматривается как уравнение связи между физическими величинами при определении единиц силы в системах СИ , СГС и других . Единица силы определяется как такая сила, которая материальной точке с массой, равной единице массы, принимаемой в качестве основной, сообщает ускорение, равное единице ускорения, определённой ранее в качестве производной единицы . (При независимом выборе единиц массы, силы и ускорения выражение второго закона нужно писать в виде m a → = k F → {\displaystyle m{\vec {a}}=k{\vec {F}}} , где k {\displaystyle k} - коэффициент пропорциональности, определяющийся выбором единиц измерения ).

Во многих практических и учебных задачах второй закон Ньютона позволяет вычислять силу . Но данный закон не является дефиницией силы (высказывание типа «по определению, сила есть произведение массы на ускорение» неуместно), иначе он превратился бы в тавтологию.

В случае отсутствия воздействия на тело со стороны других тел ( F → = 0 {\displaystyle {\vec {F}}=0} ), из второго закона Ньютона следует, что ускорение тела равно нулю. Отсюда может показаться, что первый закон Ньютона входит во второй как его частный случай. Однако, это не так, поскольку именно первым законом постулируется существование инерциальных систем отсчёта, что является самостоятельным содержательным утверждением. Соответственно, первый закон Ньютона формулируется независимо от второго.

Формула второго закона Ньютона a → = F → / m {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {F}}/m} выражает принцип причинности классической механики. Координаты и скорости материальной точки в момент времени t + Δ t {\displaystyle t+\Delta t} (где Δ t → 0 {\displaystyle \Delta t\to 0} ) непрерывно и однозначно определяются через их значения в момент времени t {\displaystyle t} и заданную силу , действующую на материальную точку. Разлагая в ряд Тейлора и ограничиваясь малыми первого порядка по t {\displaystyle t} , получаем : r → (t + Δ t) = r → (t) + v → Δ t {\displaystyle {\vec {r}}(t+\Delta t)={\vec {r}}(t)+{\vec {v}}\Delta t} , v → (t + Δ t) = v → (t) + a → Δ t {\displaystyle {\vec {v}}(t+\Delta t)={\vec {v}}(t)+{\vec {a}}\Delta t} . Форма, в которой в механике реализуется причинность, называется механистическим или лапласовским детерминизмом .

Второй закон Ньютона устанавливает связь между динамическими и кинематическими величинами .

В случае, когда сила F → {\displaystyle {\vec {F}}} постоянна, интегрирование уравнения второго закона Ньютона d v → d t = F → m {\displaystyle {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {\vec {F}}{m}}} в этом случае приводит к равенству v 2 → − v 1 → = F → m (t 2 − t 1) {\displaystyle {\vec {v_{2}}}-{\vec {v_{1}}}={\frac {\vec {F}}{m}}(t_{2}-t_{1})} . Это соотношение показывает, что под действием заданной силы F → {\displaystyle {\vec {F}}} определённое изменение скорости Δ v → = v 2 → − v 1 → {\displaystyle \Delta {\vec {v}}={\vec {v_{2}}}-{\vec {v_{1}}}} у тела с большей массой происходит за более продолжительный промежуток времени. Поэтому говорят, что все тела обладают инерцией, а массу m {\displaystyle m} называют мерой инерции тела .

Запись закона в разных системах координат

Векторная запись второго закона Ньютона m a → = F → {\displaystyle m{\vec {a}}={\vec {F}}} верна для любой инерциальной системы координат, относительно которой определяются входящие в этот закон величины (сила, масса, ускорение) . Однако, разложение на компоненты (проекции) будет различным для декартовой, цилиндрической и сферической систем. Интерес также представляет разложение на нормальную и тангенциальную составляющие.

M x ¨ = F x {\displaystyle m{\ddot {x}}=F_{x}} , m y ¨ = F y {\displaystyle m{\ddot {y}}=F_{y}} , , где F → = F x i → + F y j → + F z k → {\displaystyle {\vec {F}}=F_{x}{\vec {i}}+F_{y}{\vec {j}}+F_{z}{\vec {k}}} , а орты декартовой системы i → {\displaystyle {\vec {i}}} , j → {\displaystyle {\vec {j}}} , k → {\displaystyle {\vec {k}}} направлены по осям координат (в сторону возрастания конкретной координаты),

M (ρ ¨ − ρ φ ˙ 2) = F ρ {\displaystyle m({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2})=F_{\rho }} , m (ρ φ ¨ − 2 ρ ˙ φ ˙) = F φ {\displaystyle m(\rho {\ddot {\varphi }}-2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }})=F_{\varphi }} , m z ¨ = F z {\displaystyle m{\ddot {z}}=F_{z}} , где F → = F ρ e → ρ + F φ e → φ + F z e → z {\displaystyle {\vec {F}}=F_{\rho }{\vec {e}}_{\rho }+F_{\varphi }{\vec {e}}_{\varphi }+F_{z}{\vec {e}}_{z}} , а орты e → ρ {\displaystyle {\vec {e}}_{\rho }} , , e → z {\displaystyle {\vec {e}}_{z}} цилиндрической системы берутся в точке приложения силы и направлены, соответственно, от оси z {\displaystyle z} под 90 0 к ней, по окружности в плоскости x y {\displaystyle xy} с центром на оси, и вдоль z {\displaystyle z} (в сторону возрастания конкретной координаты),

M (r ¨ − r φ ˙ 2 sin 2 ⁡ θ − r θ ˙ 2) = F r {\displaystyle m({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta -r{\dot {\theta }}^{2})=F_{r}} , m ([ r φ ¨ + 2 r ˙ φ ˙ ] sin ⁡ θ + 2 r φ ˙ θ ˙ cos ⁡ θ) = F φ {\displaystyle m(\sin \theta +2r{\dot {\varphi }}{\dot {\theta }}\cos \theta)=F_{\varphi }} , m (2 r ˙ θ ˙ + r θ ¨ − r φ ˙ 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ) = F θ {\displaystyle m(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}-r{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta)=F_{\theta }} , где F → = F r e → r + F φ e → φ + F θ e → θ {\displaystyle {\vec {F}}=F_{r}{\vec {e}}_{r}+F_{\varphi }{\vec {e}}_{\varphi }+F_{\theta }{\vec {e}}_{\theta }} , а орты e → r {\displaystyle {\vec {e}}_{r}} , e → φ {\displaystyle {\vec {e}}_{\varphi }} , e → θ {\displaystyle {\vec {e}}_{\theta }} сферической системы берутся в точке приложения силы и направлены, соответственно, от центра O {\displaystyle O} , по «параллелям», и по «меридианам» (в сторону возрастания конкретной координаты).

• Разложение в соприкасающейся плоскости

Тангенциальная составляющая силы равна F t = m a t = m d 2 s d t 2 {\displaystyle F_{t}=ma_{t}=m{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}} , где s = s (t) {\displaystyle s=s(t)} - дуговая координата по траектории точки . Если d 2 s d t 2 > 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}>0} , то сила совпадает по направлению с вектором скорости v → {\displaystyle {\vec {v}}} и её называют движущей силой . Если d 2 s d t 2 < 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}<0} , то сила F t → {\displaystyle {\vec {F_{t}}}} противоположна по направлению вектору скорости v → {\displaystyle {\vec {v}}} и её называют тормозящей силой .

Второй закон за пределами классической механики

В релятивистской динамике

Второй закон Ньютона в виде m a → = F → {\displaystyle m{\vec {a}}={\vec {F}}} приближённо справедлив только для скоростей , много меньших скорости света , и в инерциальных системах отсчёта .

В виде d p → d t = F → {\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}} второй закон Ньютона точно справедлив также в инерциальных системах отсчёта специальной теории относительности и в локально инерциальных системах отсчёта общей теории относительности , однако при этом вместо прежнего выражения для импульса используется равенство p → = m v → 1 − v 2 c 2 {\displaystyle {\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-{\frac {\displaystyle v^{2}}{\displaystyle c^{2}}}}}}} , где c {\displaystyle c} - скорость света .

Существует и четырёхмерное релятивистское обобщение второго закона Ньютона. Производная четырёхимпульса P → {\displaystyle {\vec {\mathrm {P} }}} по собственному времени τ {\displaystyle \tau } материальной точки равна четырёхсиле Φ → {\displaystyle {\vec {\Phi }}} :

В релятивистской динамике вектор трёхмерного ускорения a → {\displaystyle {\vec {a}}} уже не параллелен вектору трёхмерной силы F → {\displaystyle {\vec {F}}} .

В квантовой механике

Законы ньютоновской динамики, в том числе второй закон Ньютона, неприменимы, если длина волны де Бройля рассматриваемого объекта соизмерима с характерными размерами области, в которой изучается его движение. В этом случае необходимо пользоваться квантовомеханическими законами .

Тем не менее, второй закон Ньютона при определённых условиях актуален применительно к движению волнового пакета в квантовой механике. Если потенциальная энергия волнового пакета пренебрежимо мало изменяется в области нахождения пакета, то производная по времени среднего значения импульса пакета будет равна силе, понимаемой как градиент потенциальной энергии , взятый с обратным знаком (теорема Эренфеста).

Видоизменённый второй закон Ньютона используется и при квантовомеханическом описании движения электронов в кристаллической решётке. Взаимодействие электрона с периодическим электромагнитным полем решётки при этом учитывается введением понятия эффективной массы .

Научно-историческое значение закона

Оценивая значение второго закона Ньютона, А. Эйнштейн писал:

Дифференциальный закон является той единственной формой причинного объяснения, которая может полностью удовлетворять современного физика. Ясное понимание дифференциального закона есть одно из величайших духовных достижений Ньютона… Только переход к рассмотрению явления за бесконечно малое время (т. е. к дифференциальному закону) позволил Ньютону дать формулировку, пригодную для описания любого движения… Так Ньютон пришёл… к установлению знаменитого закона движения:

Вектор ускорения × Масса = Вектор силы.

Это - фундамент всей механики и, пожалуй, всей теоретической физики.

Все законы природы для сил в зависимости от свойств тел, их состояний и движений получаются из опытов и устанавливаются всегда и только на основе решения уравнения F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} , которое употребляется для выражения силы .

Лагранжево и гамильтоново обобщения закона

В аналитической механике существует два аксиоматических подхода. При одном подходе в качестве аксиомы принимается второй закон Ньютона и из него выводятся уравнения Лагранжа . При другом подходе в качестве аксиомы принимаются уравнения Лагранжа. Тогда второй закон Ньютона рассматривается как следствие из них .

Теорема об изменении обобщённого импульса обобщает и включает как частные случаи теоремы ньютоновской динамики об изменении количества движения и об изменении кинетического момента .

где, как и выше, p i = ∂ L ∂ q ˙ i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}} - обобщённый импульс, через H = ∑ i = 1 s p i q ˙ i − L {\displaystyle H=\sum _{i=1}^{s}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L} обозначена функция Гамильтона , а L = L (q i , q ˙ i , t) {\displaystyle L=L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)} -

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Первый закон Ньютона постулирует существование инерциальных систем отсчета. Поэтому он также известен как Закон инерции . Инерция - это свойство тела сохранять скорость своего движения неизменной (и по величине, и по направлению), когда на тело не действуют никакие силы. Чтобы изменить скорость движения тела, на него необходимо подействовать с некоторой силой. Естественно, результат действия одинаковых по величине сил на различные тела будет различным. Таким образом, говорят, что тела обладают разной инертностью. Инертность - это свойство тел сопротивляться изменению их скорости. Величина инертности характеризуется массой тела.

  Современная формулировка

  В современной физике первый закон Ньютона принято формулировать в следующем виде :

  где p → = m v → {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}} - импульс точки, v → {\displaystyle {\vec {v}}} - её скорость , а t {\displaystyle t} - время . При такой формулировке, как и при предшествующей, полагают, что масса материальной точки неизменна во времени .

  Иногда предпринимаются попытки распространить сферу применения уравнения d p → d t = F → {\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}} и на случай тел переменной массы. Однако, вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходится существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила .

  Замечания

  Когда на материальную точку действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции , второй закон Ньютона записывается в виде:

  m a → = ∑ i = 1 n F i → {\displaystyle m{\vec {a}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}} d p → d t = ∑ i = 1 n F i → . {\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}.}

  Второй закон Ньютона, как и вся классическая механика, справедлив только для движения тел со скоростями, много меньшими скорости света . При движении тел со скоростями, близкими к скорости света, используется релятивистское обобщение второго закона , получаемое в рамках специальной теории относительности .

  Следует учитывать, что нельзя рассматривать частный случай (при F → = 0 {\displaystyle {\vec {F}}=0} ) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.

  Историческая формулировка

  Исходная формулировка Ньютона:

  Интересно, что если добавить требование инерциальности для системы отсчёта, то в такой формулировке этот закон справедлив даже в релятивистской механике .

  Третий закон Ньютона

  Этот закон описывает, как взаимодействуют две материальные точки. Возьмём для примера замкнутую систему, состоящую из двух материальных точек. Первая точка может действовать на вторую с некоторой силой , а вторая - на первую с силой . Как соотносятся силы? Третий закон Ньютона утверждает: сила действия F → 1 → 2 {\displaystyle {\vec {F}}_{1\to 2}} равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия F → 2 → 1 {\displaystyle {\vec {F}}_{2\to 1}} .

  Современная формулировка

  Закон утверждает, что силы возникают лишь попарно, причём любая сила, действующая на тело, имеет источник происхождения в виде другого тела. Иначе говоря, сила всегда есть результат взаимодействия тел. Существование сил, возникших самостоятельно, без взаимодействующих тел, невозможно .

  Историческая формулировка

  Ньютон дал следующую формулировку закона :

  Следствия

  Закон сохранения импульса

  Закон сохранения импульса утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная , если векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю .

  Закон сохранения механической энергии

  Комментарии к законам Ньютона

  Законы Ньютона являются основными законами механики. Из них могут быть выведены уравнения движения механических систем. Однако не все законы механики можно вывести из законов Ньютона. Например, закон всемирного тяготения или закон Гука не являются следствиями трёх законов Ньютона.

  Силы инерции

  Помимо сил, о которых идёт речь во втором и третьем законах Ньютона, в механике вводят в рассмотрение так называемые силы инерции . Обычно речь идёт о силах инерции двух различных типов . Сила первого типа (Д’Аламберова сила инерции ) представляет собой векторную величину, равную произведению массы материальной точки на её ускорение, взятое со знаком минус. Силы второго типа (Эйлеровы силы инерции ) используются для получения формальной возможности записи уравнений движения тел в неинерциальных системах отсчёта в виде, совпадающем с видом второго закона Ньютона. По определению эйлерова сила инерции равна произведению массы материальной точки на разность между значениями её ускорения в той неинерциальной системе отсчёта, для которой эта сила вводится, с одной стороны, и в какой-либо инерциальной системе отсчёта , с другой .Определяемые таким образом силы инерции силами в смысле законов Ньютона не являются . Данный факт служит основанием для утверждения о том, что они не являются физическими силами ; ту же мысль выражают, называя их фиктивными , кажущимися или псевдосилами .

  Законы Ньютона и Лагранжева механика

  Законы Ньютона - только один из способов формулирования классической механики. В рамках Лагранжевой механики имеется одна-единственная формула (запись действия) и один-единственный постулат (тела движутся так, чтобы действие было стационарным) , и из этого можно вывести все законы Ньютона, правда, только для лагранжевых систем (в частности для консервативных систем). Следует, однако, отметить, что все известные фундаментальные взаимодействия описываются именно лагранжевыми системами. Более того, в рамках Лагранжева формализма можно легко рассмотреть гипотетические ситуации, в которых действие имеет какой-либо другой вид. При этом уравнения движения станут уже непохожими на законы Ньютона, но сама классическая механика будет по-прежнему применима.

  Решение уравнений движения

  Уравнение F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} является дифференциальным уравнением : ускорение есть вторая производная от координаты по времени . Это значит, что эволюцию (перемещение) механической системы во времени можно однозначно определить, если задать её начальные координаты и начальные скорости.

  Заметим, что если бы уравнения, описывающие наш мир, были бы уравнениями первого порядка, то из нашего мира исчезли бы такие явления, как инерция , колебания , волны .

  Исторический очерк

  1. Всякое тело продолжает удерживаться в своём состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние. 2. Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует. 3. Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе - взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны. Оригинальный текст (лат.) LEX I Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quantenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. LEX II Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur. Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi.

  Ньютон также дал строгие определения таких физических понятий, как количество движения (не вполне ясно использованное у Декарта) и сила . Он ввёл в физику понятие массы как меры инерции и, одновременно, гравитационных свойств (ранее физики пользовались понятием вес ).

  Завершили математизацию основ механики Эйлер и Лагранж .

  Примечания

  1. Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии. Перевод с латинского и примечания А. Н. Крылова / под ред. Полака Л. С.. - М. : Наука, 1989. - С. 40-41. - 690 с. - («Классики науки»). - 5 000 экз. - ISBN 5-02-000747-1 .
  2. Тарг С. М. Ньютона законы механики // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров . - М. : Большая российская энциклопедия, 1992. - Т. 3: Магнитоплазменный - Пойнтинга теорема. - С. 370. - 672 с. - 48 000 экз. - ISBN 5-85270-019-3 .
  3. Инерциальная система отсчёта // Физическая энциклопедия (в 5 томах) / Под редакцией акад.

  Второй закон Ньютона - Произведение массы тела на ускорение равно силе действующей на тело.

  Формула 1 - Второй закон Ньютона.
  

  
  

  Второй закон Ньютона справедлив для инерциальных систем отсчета. Итак, о чем же говорит этот закон. Допустим, у нас есть тело обладающее массой. Это тело расположено на ровной поверхности. Скажем металлически шарик на поверхности стола. Шарик находится в состоянии покоя. Чтобы заставить двигаться шарик по поверхности стола к нему нужно приложить некоторую силу.

  

  Рисунок 1 - Шарик на поверхности стола.
  

  
  

  Силу нужно прикладывать непрерывно. То есть мы берем и рукой толкаем шарик, от одного края стола к другому. При этом она затрачивается на преодоление силы трения качения и, в общем случае, силы сопротивления воздуха. Но можно взять и толкнуть шарик. Он покатится самостоятельно к противоположному концу стола. Из-за чего это происходит, ведь нет руки, которая его толкает, а он продолжает свое движение. Откуда же берется сила для преодоления сил трения.

  Так как наш шарик обладает массой, и мы находимся в инерциальной системе отсчета, то он обладает инертностью. Как известно из первого закона Ньютона, инертность тела препятствует изменению состояния покоя тела. Состояние покоя можно считать как неподвижное состояние, как в нашем случае, или прямолинейное равномерное движение.

  Соответственно в момент толчка мы прикладываем силу, которая выводит шарик из состояния покоя. И он начинает двигаться по поверхности стола. Именно эта сила и расходуется на преодоление сил трения.

  

  Рисунок 2 - Шарик, катящийся по столу.
  

  
  

  В момент толчка, скорость шарика, изменяется от нулевой до определенного значения. Это изменение не может происходить мгновенно, в силу инертности шарика обладающего массой. На него затрачивается какое-то количество времени. А как мы знаем скорость изменения скорости это ускорение.

  Формула 2 - Ускорение.
  

  
  

  Если перефразировать второй закон Ньютона, то можно сказать что, ускорение тела зависит как от массы тела, так и от прилагаемой к нему силы. Вернемся к нашему шарику. Если он будет весить, скажем, 1 кг, то на его разгон руками потребуется небольшое усилие. Если же он будет весить 10 кг, то для его разгона придётся приложить усилия значительно больше.

  Кинематика – изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обуславливает.

  Мат.точка – не имеет размеров, но в мат.точке сосредоточенна масса всего тела.

  Поступательное – движение при котором прямая связанная с телом остаётся || самой себе.

  Кинетические ур-я движения мат.точки:

  Траектория – линия описываемая мат.точкой в пространстве.

  Перемещение – приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени.

  Скорость – Быстрота движения мат.точки.

  Вектором средней скорости<> называется отношение приращения радиуса-вектора точки к промежутку времени.

  Мгновенная скорость – величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени.

  Модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени.

  Компоненты равны производным от координат по времени.

  Равномерное – движение при котором за равные промежутки времени тело проходит одинаковые пути.

  Неравномерное – движение при котором скорость меняется как по модулю так и по направлению.

  Ускорение и его составляющие.

  Ускорение – физ.величина, определяющая быстроту изменения скорости, как по модулю, так и по направлению.

  Средним ускорением неравномерного движения в интервале времени от t до t+t называется векторная величина равная отношению изменения скорости к интервалу времениt: .Мгновенным ускорением мат.точки в момент времени t будет предел среднего ускорения. ..

  определяет по модулю.

  определяет по направлению.т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

  Нормальная составляющая ускорения направлена по нормали к траектории к центру её кривизны (поэтому её также называют центростремительным ускорением).

  Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих.

  Если а н =?,а т =?

  1. 1,2,3 Законы Ньютона.

  В основе Динамики мат.точки лежат три закона Ньютона.

  Первый закон Ньютона – всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит её изменить это состояние.

  Инертность – стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

  Законы Ньютона выполняются только в инерциальной системе отсчёта .

  Инерциальная система отсчёта – система, которая либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой то другой инерциальной системы.

  Масса тела – физ.величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая её инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) св-ва.

  Сила – векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

  Второй закон Ньютона – ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки.

  Импульс (кол-во движения) – векторная величина, численно равная произведению массы материальной точки на её скорость и имеющая направление скорости.

  Более общая формулировка 2-го закона Н.(уравнение движения мт): скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на неё силе.

  Следствие из 2зН: принцип независимости действия сил: если на мт действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает мт ускорение согласно 2зН, как будто других сил не было.

  Третий закон Ньютона. Всякое действие мт (тел) друг на друга, носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга мт, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки.

  Импульс тела, сила. Закон сохранения импульса.

  Внутренние силы – силы взаимодействия между мт механической системы.

  Внешние силы – силы, с которыми на мт системы действуют внешние тела.

  В механической системе тел, по 3-му закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены, т.е. геометрическая сумма внутренних сил равна 0.

  Запишем 2зН, для каждого из n тел механической системы(мс):

  …………………

  Сложим эти ур-я:

  Т.к. геометрическая сумма внутренних сил мс по 3зН равна 0, то:

  где - импульс системы.

  В случае отсутствия внешних сил(замкнутая система):

  , т.е.

  Это и есть закон сохранения импульса : импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

  Центр масс, движение центра масс.

  Центр масс (центр инерции) системы мт называется воображаемая точка С , положение которой характеризует распределение массы этой системы.

  Радиус-вектор этой точки равен:

  Скорость центра масс (цм):

  ; , т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость её центра масс.

  Т.к. то:, т.е.:

  Закон движения центра масс: центр масс системы движется как мт, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

  Кинематика вращательного движения материальной точки.

  Угловая скорость – векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени.

  Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта.

  Линейная скорость точки:

  В векторном виде: , при этом модуль равен:.

  Если =const, то вращение равномерное.

  Период вращения (Т) – время, за которое точка совершает один полный оборот. ().

  Частота вращения ( n ) – число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени. ;.

  Угловое ускорение – векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени: . При ускоренном, при замедленном.

  Тангенциальная составляющая ускорения:

  Нормальная составляющая: .

  Формулы связи линейных и угловых величин:

  При :

  Момент силы.

  Момент силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r , проведённого из точки О в точку А приложения силы, на силу F.

  Здесь - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении отк.

  Модуль момента силы равен .

  Момент силы относительно неподвижной оси z – скалярная величина , равная проекции на эту ось векторамомента силы, определённого относительно произвольной точки О данной осиz. Значение момента не зависит от выбора положения точки О на данной оси.

  Момент инерции твёрдого тела. Теорема Штейнера.

  Момент инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n мт системы на квадрат их расстояний до рассматриваемой оси.

  При непрерывном распределении масс.

  Теорема Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J C относительно параллельной оси, проходящеё через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями:

  Основное уравнение динамики вращательного движения.

  Пусть сила F приложена к точке В. Находящейся от оси вращения на расстоянии r, -угол между направлением силы и радиус-векторомr. При повороте тела на бесконечно малый угол , точка приложения В проходит путь, и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

  Учитывая, что , запишем:

  Где -момент силы, относительно оси.

  Работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

  Работа при вращении тела идёт на увеличение его кинетической энергии:

  Но ,, поэтому

  Учитывая, что получим:

  Этот и есть относительно неподвижной оси.

  Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то: .

  Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

  Момент импульса (количество движения) мт А относительно неподвижной точки О – физическая величина, определяемая векторным произведением:

  где r-радиус-вектор, проведённый из точки О в точку А; - импульс мт.-псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении отк.

  Модуль вектора момента импульса:

  Момент импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L z , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определённого относительно произвольной точки О данной оси.

  Т.к. , то момент импульса отдельной частицы:

  Момент импульса твёрдого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, а т.к. , то:

  Т.о. момент импульса твёрдого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

  Продифференцируем последнее уравнение: , т.е.:

  это и есть уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: Производная момента импульса твёрдого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

  Можно показать, что имеет место векторное равенство:

  В замкнутой системе момент внешних сил и, откуда:L=const, это выражение и есть закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

  Работа силы. Мощность.

  Энергия – универсальная мера различных форм движения и взаимодействия.

  Работа силы – величина, характеризующая процесс обмена энергией между взаимодействующими телами в механике.

  Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила , которая составляет некоторый уголс направлением перемещения, торабота этой силы равна произведению проекции силы F s на направление перемещения, умноженной на перемещение точки приложения силы:

  Элементарная работа силы на перемещенииназывается скалярная величина, равная:, где,,.

  Работа силы на участке траектории от 1 до 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути:

  Если на графике изображена зависимость F s от S, то работа определяется на графике площадью закрашенной фигуры.

  При , то А>0

  При , то А<0,

  При , то А=0.

  Мощность – скорость совершения работы.

  Т.е. мощность равна скалярному произведению вектору силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения силы.

  Кинетическая и потенциальная энергия поступательного и вращательного движения.

  Кинетическая энергия механической системы – энергия механического движения этой системы. dA=dT. По 2зН , помножим наи получим:;

  Отсюда:.

  Кинетическая энергия системы – есть функция состояния её движения, она всегда , и зависит от выбора системы отсчёта.

  Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

  Если силовое поле характеризуется тем, что работа совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории, по которой это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений, то такое поле называется потенциальным, а силы, действующие в нём – консервативными, если же работа зависит от траектории то такая сила – диссипативная .

  Т.к. работа совершается за счёт убыли потенциальной энергии, то: ;;, где С – постоянная интегрирования, т.е. энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной.

  Если силы консервативны, то:

  - Градиент скаляра П. (также обозначается ).

  Т.к. начало отсчёта выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение. (при П=-mgh’).

  Найдём потенциальную энергию пружины.

  Сила упругости: , по 3зН:F x =-F x упр =kx;

  dA=F x dx=kxdx;.

  Потенциальная энергия системы является функцией состояния системы, она зависит только от конфигурации системы и от её положения по отношению к внешним телам.

  Кинетическая энергия вращения

  Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии.

  Полная механическая энергия системы – энергия механического движения и взаимодействия: Е=Т+П, т.е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

  Пусть F 1 ’…F n ’ – равнодействующие внутренних консервативных сил. F 1 …F n - равнодействующие внешних консервативных сил. f 1 …f n . Запишем уравнения 2зН для этих точек:

  Умножим каждое ур-е на , учтя, что.

  Сложим ур-я:

  Первый член левой части:

  Где dT есть приращение кинетической энергии системы.

  Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних сил, взятой со знаком минус, т.е. равен элементарному приращению потенциальной энергииdП системы.

  Правая часть равенства задаёт работу вешних неконсервативных сил, действующих на систему. Т.о.:

  Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то:

  d(Т+П)=0;Т+П=Е=const

  Т.е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Закон сохранения механической энергии : в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

  Абсолютно упругий удар.

  Удар (соударение)

  Коэффициент восстановления

  абсолютно неупругими , если =1 тоабсолютно упругими.

  Линия удара

  Центральный удар

  Абсолютно упругий удар – столкновение 2-х тел, в результате которого в обоих взаимодействующих не остаётся ни каких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию.

  Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

  Законы сохранения:

  m 1 v 1 +m 2 v 2 =m 1 v’ 1 +m 2 v’ 2

  после преобразований:

  откуда:v 1 +v 1 ’=v 2 +v 2 ’

  решая последнее ур-е и предпедпоследнее найдём:

  Абсолютно неупругий удар.

  Удар (соударение) – столкновение 2-х или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. При ударе внешними силами можно пренебречь.

  Коэффициент восстановления – отношение нормальной составляющей относительной скорости тел после и до удара.

  Если для сталкивающих тел =0, то такие тела называютсяабсолютно неупругими , если =1 тоабсолютно упругими.

  Линия удара – прямая проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения.

  Центральный удар – такой удар, при котором тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центр масс.

  Абсолютно неупругий удар – столкновении 2-х тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше, как единое целое.

  Закон сохранения импульса:

  Если шары двигались навстречу друг другу, то при абсолютно неупругом ударе шары движутся в сторону большего импульса.

  Поле тяготения, напряжённость, потенциал.

  Закон всемирного тяготения: между любыми двумя мт действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними:

  G – Гравитационная постоянная (G=6,67*10 -11 Hm 2 /(кг) 2)

  Гравитационное взаимодействие между двумя телами осуществляется с помощью поля тяготения , или гравитационного поля. Это поле порождается телами и является формой существования материи. Основное св-во поля в том, что на всякое тело внесённое в это поле действует сила тяготения:

  Вектор не завит от массы и называется напряжённостью поля тяготения.

  Напряжённость поля тяготения определяется силой действующей со стороны поля на мт единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой, напряжённость есть силовая хар-ка поля тяготения.

  Поле тяготения однородное если напряжённость во всех точках его одинакова, и центральным , если во всех точках поля векторы напряжённости направлены вдоль прямых, которые пересекаются в одной точке.

  Гравитационное поле тяготения – носитель энергии.

  На расстоянии R на тело действует сила:

  при перемещении этого тела на расстояние dR затрачивается работа:

  Знак минус появляется, т.к. сила и перемещение в данном случае противоположны по направлению.

  Затраченная работа в пол тяготения не зависит от траектории перемещения, т.е. илы тяготения консервативны, а поле тяготения является потенциальным.

  Если то П 2 =0, тогда запишем:,

  Потенциал поля тяготения – скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность. Т.о.:

  Эквипотенциальные – такие поверхности, для которых потенциал постоянен.

  Взаимосвязь между потенциалом и напряженностью.

  Знак мину указывает на то, что вектор напряжённости направлен в сторону убывания потенциала.

  Если тело находится на высоте h, то

  Неинерциальная система отсчёта. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчёта.

  Неинерциальная – система отсчёта, движущаяся относительно инерциальной системы отсчёта с ускорением.

  Законы Н можно применять в неинерциальной системе отсчёта, если учесть силы инерции. Силы инерции при этом должны быть такими, чтобы вместе с силами, обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение, каким оно обладает в неинерциальных системах отсчёта, т.е.:

  Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчёта.

  Т.е. угол отклонения нити от вертикали равен:

  Относительно системы отсчёта, связанной с тележкой шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой F ин, т.е.:

  Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчёта.

  Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На диске на разных расстояниях от оси вращения установлены маятники (на нитях подвешены шарики). При вращении маятников вместе с диском шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол.

  В инерциальной системе отсчёта, связанной с помещением, на шарик действует сила, равная , и направлена перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействующей силы тяжестии силы натяжения нити:

  Когда движение шарика установится, то:

  т.е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше расстояние R от шарика до оси вращения диска и чем больше угловая скорость вращения .

  Относительно системы отсчёта, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой.

  Сила , называемаяцентробежной силой инерции , направлена по горизонтали от оси вращения диска и равна:.

  Гидростатическое давление, закон Архимеда, закон неразрывности струи.

  Гидроаэромеханика – раздел механики, изучающий равновесие и движение жидкостей и газов, их взаимодействие между собой и обтекаемыми ими твёрдыми телами.

  Несжимаемая жидкость – жидкость, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем.

  Давление – физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей о стороны жидкости на единицу площади:

  Закон Паскаля – давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причём давление одинаково передаётся по всему объёму, занятому покоящейся жидкости.

  Если жидкость не сжимаема, то при поперечном сечении S столба жидкости, его высоте h и плотности вес:

  А давление на нижнее основание:,т.е. давление изменяется линейно с высотой. Давлениеназываетсягидростатическим давлением .

  Из этого следует, что давление на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, значит на тело, погружённое в жидкость действует выталкивающая сила, определяемая законом Архимеда: на тело погружённое в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости:,

  Течение – движение жидкости.Поток – совокупность частиц движущейся жидкости.Линии тока – графическое изображение движения жидкости.

  Течение жидкости установившееся (стационарно) , если форма расположения линий тока, а так же значения скоростей в каждой её точке со временем не изменяются.

  За 1с через сечение S 1 пройдёт объём жидкости равный , а черезS 2 - , здесь предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость не сжимаема, то через оба сечения пройдёт равный объём:

  Это и есть уравнение неразрывности струи для несжимаемой жидкости.

  Закон Бернулли.

  Жидкость идеальна, движение стационарно.

  За малый промежуток времени жидкость перемещается от сеченийS 1 и S 2 к сечениям S’ 1 и S’ 2 .

  По закону сохранения энергии изменение полной энергии идеальной несжимаемой жидкости равно работе внешних сил по перемещению массы жидкости:,

  где Е 1 и Е 2 – полные энергии жидкости массой m в местах сечений S 1 и S 2 соответственно.

  С другой стороны А – это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключённой между сечениями S 1 и S 2 , за рассматриваемый промежуток времени . Для переноса массыm от S 1 до S’ 1 жидкость должна переместится на расстояние и отS 2 до S’ 2 на расстояние .,гдеF 1 =p 1 S 1 и F 2 =-p 2 S 2 .