Что такое механическая энергия с примером. И.С. Нургалиев. Чему равна механическая энергия

В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную. Кинетической энергией называют механическую энергию всякого свободно движущегося тела и измеряют ее той работой, которую могло бы совершить тело при его торможении до полной остановки.
Пусть тело В , движущееся со скоростью v , начинает взаимодействовать с другим телом С и при этом тормозится. Следовательно, тело В действует на тело С с некоторой силой F и на элементарном участке пути ds совершает работу

По третьему закону Ньютона на тело В одновременно действует сила -F , касательная составляющая которой -F τ вызывает изменение численного значения скорости тела. Согласно второму закону Ньютона

Следовательно,

Работа, совершаемая телом до полной его остановки равна:

Итак, кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине произведения массы этого тела на квадрат его скорости:

(3.7)

Из формулы (3.7) видно, что кинетическая энергия тела не может быть отрицательной (E k ≥ 0 ).
Если система состоит из n поступательно движущихся тел, то для ее остановки необходимо затормозить каждое из этих тел. Поэтому полная кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в нее тел:

(3.8)

Из формулы (3.8) видно, что E k зависит только от величины масс и скоростей движения, входящих в нее тел. При этом неважно, каким образом тело массой m i приобрело скорость ν i . Другими словами, кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения .
Скорости ν i существенно зависят от выбора системы отсчета. При выводе формул (3.7) и (3.8) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, т.к. иначе нельзя было бы использовать законы Ньютона. Однако, в разных инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга, скорость ν i i -го тела системы, а, следовательно, его E ki и кинетическая энергия всей системы будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия системы зависит от выбора системы отсчета, т.е. является величиной относительной .
Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Численно потенциальная энергия системы в данном ее положении равна работе, которую произведут действующие на систему силы при перемещении системы из этого положения в то, где потенциальная энергия условно принимается равной нулю (E n = 0). Понятие «потенциальная энергия» имеет место только для консервативных систем, т.е. систем, у которых работа действующих сил зависит только от начального и конечного положения системы. Так, для груза весом P , поднятого на высоту h , потенциальная энергия будет равна E n = Ph (E n = 0 при h = 0); для груза, прикрепленного к пружине, E n = kΔl 2 / 2 , где Δl - удлинение (сжатие) пружины, k – ее коэффициент жесткости (E n = 0 при l = 0); для двух частиц с массами m 1 и m 2 , притягивающимися по закону всемирного тяготения, , где γ – гравитационная постоянная, r – расстояние между частицами (E n = 0 при r → ∞).
Рассмотрим потенциальную энергию системы Земля – тело массой m , поднятого на высоту h над поверхностью Земли. Уменьшение потенциальной энергии такой системы измеряется работой сил тяготения, совершаемой при свободном падении тела на Землю. Если тело падает по вертикали, то

Где E no – потенциальная энергия системы при h = 0 (знак «-» показывает, что работа совершается за счет убыли потенциальной энергии).
Если это же тело падает по наклонной плоскости длиной l и с углом наклона α к вертикали (lcosα = h ), то работа сил тяготения равна прежней величине:

Если, наконец, тело движется по произвольной криволинейной траектории, то можно представить себе эту кривую состоящей из n малых прямолинейных участков Δl i . Работа силы тяготения на каждом из таких участков равна

На всем криволинейном пути работа сил тяготения, очевидно, равна:

Итак, работа сил тяготения зависит только от разности высот начальной и конечной точек пути.
Таким образом, тело в потенциальном (консервативном) поле сил обладает потенциальной энергией. При бесконечно малом изменении конфигурации системы работа консервативных сил равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:

В свою очередь работа dA выражается как скалярное произведение силы F на перемещение dr , поэтому последнее выражение можно записать следующим образом:

(3.9)

Следовательно, если известна функция E n (r) , то из выражения (3.9) можно найти силу F по модулю и направлению.
Для консервативных сил

Или в векторном виде

где

(3.10)

Вектор, определяемый выражением (3.10), называется градиентом скалярной функции П ; i, j, k - единичные векторы координатных осей (орты).
Конкретный вид функции П (в нашем случае E n ) зависит от характера силового поля (гравитационное, электростатическое и т.п.), что и было показано выше.
Полная механическая энергия W системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий:

Из определения потенциальной энергии системы и рассмотренных примеров видно, что эта энергия, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы: она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам. Следовательно, полная механическая энергия системы также является функцией состояния системы, т.е. зависит только от положения и скоростей всех тел системы.

Полная механическая энергия тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергии.

Полную механическую энергию рассматривают в тех случаях, когда действует закон сохранения энергии и она остаётся постоянной.

Если на движение тела не оказывают влияния внешние силы, например, нет взаимодействия с другими телами, нет силы трения или силы сопротивления движению, тогда полная механическая энергия тела остаётся неизменной во времени.

E пот + E кин = const

Разумеется, что в повседневной жизни не существует идеальной ситуации, в которой тело полностью сохраняло бы свою энергию, так как любое тело вокруг нас взаимодействует хотя бы с молекулами воздуха и сталкивается с сопротивлением воздуха. Но, если сила сопротивления очень мала и движение рассматривается в относительно коротком промежутке времени, тогда такую ситуацию можно приближённо считать теоретически идеальной.

Закон сохранения полной механической энергии обычно применяют при рассмотрении свободного падения тела, при его вертикальном подбрасывании или в случае колебаний тела.

Пример:

При вертикальном подбрасывании тела его полная механическая энергия не меняется, а кинетическая энергия тела переходит в потенциальную и наоборот.

Преобразование энергии отображено на рисунке и в таблице.

Исходя из того, что в начале движения величина кинетической энергии тела одинакова с величиной его потенциальной энергии в верхней точке траектории движения, для расчётов могут быть использованы ещё две формулы.

Если известна максимальная высота, на которую поднимается тело, тогда можно определить максимальную скорость движения по формуле:

v max = 2 ⋅ g ⋅ h max .

Если известна максимальная скорость движения тела, тогда можно определить максимальную высоту, на которую поднимается тело, брошенное вверх, по такой формуле:

h max = v max 2 2 g .

Чтобы отобразить преобразование энергии графически, можно использовать имитацию «Энергия в скейт-парке », в которой человек, катающийся на роликовой доске (скейтер) перемещается по рампе. Чтобы изобразить идеальный случай, предполагается, что не происходит потерь энергии в связи с трением. На рисунке показана рампа со скейтером, и далее на графике показана зависимость механической энергии от места положения скейтера на траектории.

На графике синей пунктирной линией показано изменение потенциальной энергии. В средней точке рампы потенциальная энергия равна \(нулю\). Зелёной пунктирной линией показано изменение кинетической энергии. В верхних точках рампы кинетическая энергия равна \(нулю\). Жёлто-зелёная линия изображает полную механическую энергию - сумму потенциальной и кинетической - в каждый момент движения и в каждой точке траектории. Как видно, она остаётся \(неизменной\) во всё время движения. Частота точек характеризует скорость движения - чем дальше точки расположены друг от друга, тем больше скорость движения.

Механическая энергия - одна из форм энергии; получившей такое название потому, что эта энергия проявляется при механическом движении и взаимодействии вещественных объектов. Вещественные объекты в механике моделируются с помощью систем материальных точек. Твёрдое тело - это система точек, взаимное расположение которых сохраняется неизменным.

Энергия движения точек (тел) называется кинетической энергией (обозначается буквой Т) .

Энергия взаимодействия точек (тел) называется потенциальной энергией (обозначается буквой П ). Сам термин «потенциальная» означает возможность движения тел в результате обладания этой энергией.

При движении точки (или центра масс тела) кинетическая энергия равна:

где m - масса точки (тела);

 - скорость точки (или центра масс тела).

Примечание. При поступательном движении тело рассматривается как материальная точка, помещённая в центре масс.

Если тело вращается, кинетическая энергия вычисляется по формуле:

Т=J  2 , (2)

где J - момент инерции тела относительно оси вращения;

 - угловая скорость тела.

Примечание. Для более сложных типов движения тел (плоское, свободное), кинетическая энергия равна сумме энергии центра масс и вращения вокруг оси, проходящей (условно) через центр масс.

Потенциальная энергия определяется видом взаимодействия. Если изучаемые точки (тела) электронейтральны, тогда для исследований вблизи поверхности Земли надо учитывать только гравитационное взаимодействие с Землей, которое зависит от расстояния до центра земного шара.

В Приложении (см.) показано, что до высот над поверхностью Земли Н <10 км потенциальная энергия гравитационного взаимодействия точки (тела), имеющей массу m , с достаточной точностью определяется приближённой формулой:

  - mgR o + mgH , (3)

где m - масса исследуемой точки (тела);

g- ускорение силы тяготения;

R o - радиус Земли;

Н - высота подъёма точки (или центра масс тела) над поверхностью Земли.

Для практических расчётов формулу (3) используют в изменённом виде, т.к. в любых исследованиях требуется знать только разность потенциальных энергий для различных высот Н 2 и Н 1 над поверхностью Земли. Поэтому энергию на нижнем уровне обычно принимают равной нулю, и от этого уровня отсчитывают высоту подъёма h=H 2 - H 1 , где Н 1 - высота нижнего уровня над поверхностью Земли, которую не требуется находить, т.к. она не входит в расчёты. В итоге получается формула гравитационной потенциальной энергии в виде:

 = mgh (4)

Точность расчёта по формуле (4) увеличивается с уменьшением высоты над поверхностью Земли.

Формулы для потенциальной энергии в механике выводятся посредством расчёта работы, которую совершают силы при переходе точки (тела) из одного места пространства в другое (см. Приложение).

Работой силы называется физическая величина, являющаяся мерой действия силы по изменению и преобразованию разных форм энергии и равная скалярному произведению вектора силы и вектора перемещения точки её приложения.

Элементарная работа dA силы F равна:

dA = (
) , (5)

где
- элементарное перемещение точки приложения силы.

При вращательном движении тела работа определяется моментом силы, приводящим тело во вращение:

dA = M p d  , (6)

где М р - момент силы относительно оси вращения;

d  - элементарный угол поворота тела.

Интегрирование формул (5) и (6) позволяет находить работу силы на конечных перемещениях и углах поворота. Единицей измерения работы (как и энергии) является - Джоуль [Дж].

Понятие работы силы позволяет раскрыть замечательные свойства сил. Оказывается, все силы следует разделить на два вида: потенциальные (консервативные) и непотенциальные (неконсервативные) силы. Потенциальными в механике называются три силы: гравитационную, электрическую и упругой деформации. К непотенциальным относятся силы трения и сопротивления.

Замечательным свойством потенциальных сил является то, что при действии таких сил кинетическая энергия может быть преобразована только в потенциальную энергию (и наоборот). При этом работа силы точно равна изменению кинетической энергии.

При действии непотенциальных сил кинетическая и потенциальная энергия преобразуются (полностью или частично) в другие формы: например, внутреннюю энергию и энергию излучения.

Сумма кинетической и потенциальной энергии системы точек (тел) называется механической энергией.

Е = Т+П (7)

Для механической энергии установлен закон сохранения, который формулируется следующим образом: механическая энергия системы сохраняется, если работу на перемещении точек (тел) системы выполняют внешние и внутренние потенциальные силы, либо - если эта система изолирована и в ней действуют только потенциальные силы.

Отметим, что условие изолированности - это условие общефизического закона сохранения энергии. Однако для механической энергии существует еще одно условие сохранения, требующее выполнения работы только потенциальными силами, в том числе - внешними, учёт этого условия позволил решить ряд важнейших задач физики, например, рассчитать траектории небесных тел (законы Кеплера) и траектории заряженных частиц (формулы Резерфорда).

Цель этой статьи - раскрыть сущность понятия «механическая энергия». Физика широко использует это понятие как практически, так и теоретически.

Работа и энергия

Механическую работу можно определить, если известны сила, действующая на тело, и перемещение тела. Существует и другой способ для расчета механической работы. Рассмотрим пример:

На рисунке изображено тело, которое может находиться в различных механических состояниях (I и II). Процесс перехода тела из состояния I в состояние II характеризуется механической работой, то есть при переходе из состояния I в состояние II тело может осуществить работу. При осуществлении работы меняется механическое состояние тела, а механическое состояние можно охарактеризовать одной физической величиной - энергией.

Энергия - это скалярная физическая величина всех форм движения материи и вариантов их взаимодействия.

Чему равна механическая энергия

Механической энергией называют скалярную физическую величину, которая определяет способность тела выполнять работу.

А = ∆Е

Поскольку энергия - это характеристика состояния системы в определенный момент времени, то работа - это характеристика процесса изменения состояния системы.

Энергия и работа обладают одинаковыми единицами измерения: [А] = [Е] = 1 Дж.

Виды механической энергии

Механическая свободная энергия делится на два вида: кинетическую и потенциальную.

Кинетическая энергия - это механическая энергия тела, которая определяется скоростью его движения.

Е k = 1/2mv 2

Кинетическая энергия присуща подвижным телам. Останавливаясь, они выполняют механическую работу.

В различных системах отсчета скорости одного и того же тела в произвольный момент времени могут быть разными. Поэтому кинетическая энергия - относительная величина, она обуславливается выбором системы отсчета.

Если на тело во время движения действует сила (или одновременно несколько сил), кинетическая энергия тела меняется: тело ускоряется или останавливается. При этом работа силы или работа равнодействующей всех сил, которые приложены к телу, будет равняться разнице кинетических энергий:

A = E k1 - E k 2 = ∆Е k

Этому утверждению и формуле дали название - теорема о кинетической энергии .

Потенциальной энергией именуют энергию, обусловленную взаимодействием между телами.

При падении тела массой m с высоты h сила притяжения выполняет работу. Поскольку работа и изменение энергии связаны уравнением, можно записать формулу для потенциальной энергии тела в поле силы тяжести :

E p = mgh

В отличие от кинетической энергии E k потенциальная E p может иметь отрицательное значение, когда h<0 (например, тело, лежащее на дне колодца).

Еще одним видом механической потенциальной энергии является энергия деформации. Сжатая на расстояние x пружина с жесткостью k имеет потенциальную энергию (энергию деформации):

E p = 1/2 kx 2

Энергия деформации нашла широкое применение на практике (игрушки), в технике - автоматы, реле и другие.

E = E p + E k

Полной механической энергией тела именуют сумму энергий: кинетической и потенциальной.

Закон сохранения механической энергии

Одни из самых точных опытов, которые провели в середине XIX века английский физик Джоуль и немецкий физик Майер, показали, что количество энергии в замкнутых системах остается неизменной. Она лишь переходит от одних тел к другим. Эти исследования помогли открыть закон сохранения энергии :

Полная механическая энергия изолированной системы тел остается постоянной при любых взаимодействиях тел между собой.

В отличие от импульса, который не имеет эквивалентной формы, энергия имеет много форм: механическую, тепловую, энергию молекулярного движения, электрическую энергию с силами взаимодействия зарядов и другие. Одна форма энергии может переходить в другую, например, в тепловую кинетическая энергия переходит в процессе торможения автомобиля. Если сил трения нет, и тепло не образуется, то полная механическая энергия не утрачивается, а остается постоянной в процессе движения или взаимодействия тел:

E = E p + E k = const

Когда действует сила трения между телами, тогда происходит уменьшение механической энергии, однако и в этом случае она не теряется бесследно, а переходит в тепловую (внутреннюю). Если над замкнутой системой выполняет работу внешняя сила, то происходит увеличение механической энергии на величину выполненной этой силой работы. Если же замкнутая система выполняет работу над внешними телами, тогда происходит сокращение механической энергии системы на величину выполненной ею работы.
Каждый вид энергии может превращаться полностью в произвольный иной вид энергии.

РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ.

§1 Энергия. Механическая энергия.

Виды механической энергии. Работа

Энергией называется скалярная физическая величина, являющаяся общей мерой различных форм движения материи.

Энергия количественно характеризует систему относительно различных превращений движения в ней, которые происходят в результате взаимодействия частиц системы как друг с другом, так и с внешними телами. Для анализа различных форм движения вводят различные виды энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную и др.

К механической энергии относится энергия, связанная с силами всемирного тяготения, деформированного упругого тела и энергия, связанная с движением тела.

Ещё определения энергии в механике: Энергией называется способность тела совершать работу. Запас энергии определяется работой, которую может совершить тело, изменяя свое состояние: поднятый груз при падении; сжатая пружина при восстановлении формы: движущееся тело при остановке. Механической энергией тела называют величину равную максимальной работе, которую может совершить тело в данных условиях.

І Механическая работа (Работа постоянной силы)

Если тело под действием силы совершает перемещение , работа А этой силы равна скалярному произведению силы на вектор перемещения. Работа силы есть скалярная величина

Работа горизонтальной составляющей силы F - силы F тяги равна ()

Работа вертикальной составляющей силы F - силы подъёма F n равна ()

Сила , направление которой перпендикулярно направлению движению тела, работу не совершает.

Работа силы трения равна ().

Силу, направленную против движения и совершающую отрицательную работу называют силой сопротивления. Сила перпендикулярная к перемещению не изменяет числового значения скорости (такая сила заставляет тело двигаться по окружности - центростремительная сила) и работа ее равна 0.

Сила, увеличивающая численное значение скорости (угол α - о с трый), совершает положительную работу. Сила, уменьшающая численное значение скорости (угол α - ), совершает отрицательную работу.

ІІ . Работа силы тяжести. Консервативные силы.

Определим работу силы тяжести при движении тела массой m по наклонной плоскости, длина которой L , а высота h . На тело действует две силы: сила тяжести, направленная вертикально вниз и сила реакции опоры , направленная перпендикулярно к поверхности плоскости АС. Их равнодействующая 1 совершает работу, сообщая телу ускорение (силой трения пренебрегаем).

из

б) Определим работу, совершаемую силой тяжести при свободном падении тела на высоту.

Сравнение работы, совершаемой силой тяжести при движении по наклонной плоскости и при свободном падении показывает, что работа силы тяжести не зависит от длины и формы пути, пройденного телом, и определяется произведением силы тяжести на разность высот в начальном и конечном положении.

При движении вниз сила тяжести совершает положительную работу, при движении вверх - отрицательную. Работа силы тяжести по замкнутому пути 1-2-1 равна 0.

Силы, работа каких не зависит от формы и длины пути, а определяется лишь начальным и конечным положением тела, называются консервативными.

Работа консервативных сил по замкнутому пути равна нулю.Пример консервативных сил: сила тяжести, сила упругости пружины, и силы электростатического взаимодействия.

ІІІ. Работа силы трения. Диссипативные силы.

Сила трения F тр . определяется относительной скоростью соприкасающихся тел (сила трения скольжения). Сила трения всегда направленна против движения (), т.е. всегда является силой сопротивления, и поэтому выполняемая ею работа всегда отрицательна и после возвращения тела в исходное положение суммарная работа сил трения отлична от 0 и отрицательная.

Диссипативными силами называются силы, суммарная работа которых при любых перемещениях замкнутой системы всегда отрицательна. Пример: силы трения скольжения и силы сопротивления движению тел в жидкостях и газах. В результате действия диссипативных сил механическая энергия переходит в другие виды энергии.

І V . Работа переменной силы.

Определим работу силы, величина которой изменяется от точки к точке, по закону показанному на рисунке. Разобьем перемещения S на элементарные участки dS , на которых величина силы остается постоянной, тогда элементарная запишется в виде

Полная работа А на всем перемещении от точки 1 до точки 2 равна

или, переходя к пределу,

A

Работа переменной силы равна:

Работа силы упругости с учётом того, что

A= ()

Работа сил ы упругости замкнутому пути 1-2-1

VI . Кинетическая энергия.

Если элементарное перемещение d записать в виде

По II закону Ньютона

тогда

A =

Величина называется кинетической энергией

Работа равнодействующей всех сил действующих на частицу равна изменению кинетической энергии частицы.

Тогда

или другая запись

Если A > 0, то W К возрастает (падения)

Если A > 0, то W К убывает (бросание).

Движущиеся тела обладают способностью выполнять работу и в том случае, если никакие силы со стороны других тел на них не действуют. Если тело движется с постоянной скоростью, то - сумма всех сил действующих на тело равна 0 и работа при этом не совершается. Если тело будет действовать с некоторой силой по направлению движения на другое тело, тогда оно способно совершить работу. В соответствии с ІІІ законом Ньютона к движущемуся телу будет приложена такая же по величине сила, но направленная в противоположную сторону. Благодаря действию этой силы скорость тела будет уменьшаться до его полной остановки. Энергия W К , обусловленная движением тела, называется кинетической. Полностью остановившееся тело не может совершить работы. W К зависит от скорости и массы тела. Изменение направления скорости не влияет на кинетическую энергию.

VII . Потенциальная энергия.

Если тело поднять на высоту h , то падая под действием силы тяжести, тело может совершить работу

Если жать пружину на величину X 2 = X (X 1 = 0), то возвращать в исходное состояние деформированная пружина способна выполнить работу

Следовательно, эти тела обладают запасом энергии, возникающей благодаря взаимодействия тел друг с другом. Эту энергию называют потенциальной. Потенциальной энергией называется энергия, зависящая от взаимного положения частиц системы.

Если тело падает с некоторой высоты h 1до высоты h 2, его потенциальная энергия изменяется от значения

до

Совершенная при этом работа равна

т.е. работа, совершаемая телами, на которые действуют консервативные силы, равна изменению потенциальной энергии с обратным знаком.

Таким образом, когда падающее тело совершает положительную работу, его W П уменьшается. Если тело поднимают вверх, сила тяжести совершает отрицательную работу и W П возрастает.

VIII . Полная механическая энергия.

Механической энергией или полной механической энергией называется энергия механического движения и взаимодействия. Механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии.